Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int \frac{e^x}{1-e^x} \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi untuk menyelesaikan soal ini. Misalkan \( u = 1-e^x \) sehingga diperoleh berikut:
\begin{aligned} u=1-e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= -e^x \\[8pt] dx &= \frac{du}{-e^x} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^x}{1-e^x} \ dx &= \int \frac{e^x}{u} \cdot \frac{du}{-e^x} \\[8pt] &= -\int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= -\ln|u| + C \\[8pt] &= -\ln|1-e^x|+C \end{aligned}